Question

已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球心為O半徑為1的球面上，且滿足PA、PB、PC兩兩垂直，當(dāng)PC•AB的最大值時(shí)，三棱錐O-PAB的高為（　�。�

• A、

  3

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，由題設(shè)可知，三棱錐就是內(nèi)接球的長方體的一部分，其體對角線就是球的直徑2．
所以a²+b²+c²=4，利用基本不等式得到PC•AB=c

a2+b2

≤2．而三棱錐O-PAB的高為

1

2

c．

解答：解：設(shè)PA=a，PB=b，PC=c，由題設(shè)可知，三棱錐就是內(nèi)接球的長方體的一部分，其體對角線就是球的直徑2．
∴a²+b²+c²=4．
∴4≥2c

a2+b2

∴c

a2+b2

≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a²+b²=c²=2，即c=

2

，
∴PC•AB=c

a2+b2

取到最大值2，
當(dāng)PC•AB的最大值時(shí)，三棱錐O-PAB的高為

c

2

=

2

2

；
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三條棱兩兩垂直的三棱錐與長方體的關(guān)系以及與外接球的關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于難題．