Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）。
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值h（a）；
（3）對（2）中的h（a），若關(guān)于a的方程h（a）=m（a+）有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵ ∴ ∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）內(nèi)是減函數(shù) ∴在上恒成立 即在上恒成立。 ∴ ∴ 故實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）。 （2） 令f'（x）=0，得x=0或 ①若a≤0，則當(dāng)1≤x≤2時，f'（x）>0，所以f（x）在區(qū)間[1， 2]上是增函數(shù)， 所以h（a）=f（1）=1-a。 ②若，即，則當(dāng)1≤x≤2時，f'（x）>0， 所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)， 所以h（a）=f（1）=1-a。 ③若，即，則當(dāng)時，f'（x）＜0 當(dāng)時，f'（x）>0 所以f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù) 所以。 ④若a≥3，即，則當(dāng)1＜x＜2時，f'（x）＜0， 所以f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù) 所以h（a）=f（2）=8-4a。 綜上得。

（3）由題意有兩個不相等的實數(shù)解，即（2）中函數(shù)h（a）的圖象與直線y=有兩個不同的交點，而直線y=恒過定點由圖知實數(shù)m的取值范圍是（-4，-1）。