Question

7．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0，且直線與圓C交于A，B兩點，若點P（1，1）滿足2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，則直線l的方程為x-y=0或x+y-2=0．

Answer 1

分析 根據(jù)直線l：mx-y+1-m=0 過定點P（1，1），再根據(jù)點P在圓C：x²+（y-1）²=5的內部，可得直線L與圓C總有兩個交點．設點A（x₁，mx₁-m+1），點B（x₂，mx₂-m+1 ），由2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得2x₁+x₂=3，再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C，化簡可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，聯(lián)立解得點A的坐標，把點A的坐標代入圓C的方程求得m的值，從而求得直線l的方程．

解答 解：直線l：mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），故直線過定點P（1，1），
∵1²+（1-1）²=1＜5，故點P在圓C：x²+（y-1）²=5的內部，故直線l與圓C總有兩個交點．
設點A（x₁，mx₁-m+1），點B（x₂，mx₂-m+1 ），
由2$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得 2（1-x₁，-mx₁+m ）=（x₂-1，mx₂-m ），
∴2-2x₁=x₂-1，即 2x₁+x₂=3． ①
再把直線方程 y-1=m（x-1）代入圓C：x²+（y-1）²=5，化簡可得 （1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
由根與系數(shù)的關系可得x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$．②
由①②解得 x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，故點A的坐標為（$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，$\frac{1+2m+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$）．
把點A的坐標代入圓C的方程可得 m²=1，故 m=±1，
故直線l的方程為 x-y=0或x+y-2=0．
故答案為：x-y=0或x+y-2=0．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，兩個向量共線的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于中檔題．