Question

下列函數中，在其定義域內，既是單調遞增函數，又是奇函數的是（ ）
A．f（x）=sinx+x²
B．f（x）=
C．
D．f（x）=3^x-3^-x

Answer 1

【答案】分析：C：因為函數的定義域為（0，+∞）不關于原點對稱，所以此函數不具有奇偶性．
A：因為函數不滿足f（-x）≠-f（x），所以此函數在定義域內不是奇函數．
B：由函數的解析式可得：f′（x）=1-≥0在其定義域內不是恒成立，所以函數在定義域內不是單調遞增函數．
D：由題意可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=＞0恒成立，所以此函數既是單調遞增函數，又是奇函數．
解答：解：根據函數奇偶性的定義可得：若函數具有奇偶性則其定義域關于原點對稱，因為函數的定義域為（0，+∞），所以此函數不具有奇偶性，所以C答案錯誤．
A：因為函數的解析式為f（x）=sinx+x²，所以f（-x）≠-f（x），所以此函數在定義域內不是奇函數，所以A錯誤．
B：由函數f（x）=可得：f′（x）=1-，所以f′（x）=1-≥0在其定義域內不是恒成立，所以函數在定義域內不是單調遞增函數，所以B錯誤．
D：由函數f（x）=3^x-3^-x可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=＞0恒成立，所以此函數既是單調遞增函數，又是奇函數，所以D正確．
故選D．
點評：本題主要考查函數的奇偶性與單調性，解決此類問題的關鍵是熟練掌握函數奇偶性的定義域判定方法，以及掌握利用導數判定函數的單調性，掌握導數的運算公式與運算法則．