Question

某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的限制，會產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，次品數(shù)P（萬件）與日產(chǎn)量x（萬件）之間滿足關(guān)系：P=

x2 6 ，(1≤x＜4) x+ 3 x - 25 12 ，(x≥4)

已知每生產(chǎn)l萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)l萬件次品將虧損1萬元．（利潤=盈利一虧損）
（1）試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤T（萬元）表示為日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)工廠將這種儀器的元件的日產(chǎn)量x定為多少時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為多少？

Answer 1

分析：（1）由已知中次數(shù)數(shù)P（萬件）與日產(chǎn)量x（萬件）之間的關(guān)系式，可求出合格的元件數(shù)，進(jìn)而根據(jù)每生產(chǎn)l萬件合格的元件可以盈利2萬元，但每生產(chǎn)l萬件次品將虧損1萬元，得到利潤T（萬元）用日產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式．
（2）由（1）中結(jié)論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以求出日產(chǎn)量x定為多少時(shí)獲得的利潤最大，及最大利潤值

解答：解：（1）當(dāng)1≤x＜4時(shí)，合格的元件數(shù)為x-

x2

6

，…（1分）
利潤T=2(x-

x2

6

)-

x2

6

=2x-

x2

2

；                           …（3分）
當(dāng)x≥4時(shí)，合格的元件數(shù)為x-(x+

3

x

-

25

12

)=-

3

x

+

25

12

，…（4分）
利潤T=2(-

3

x

+

25

12

)-(x+

3

x

-

25

12

)=-x-

9

x

+

25

4

，…（6分）
綜上，該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤T=

2x- x2 2 ，1≤x＜4 -x- 9 x + 25 4 ，x≥4

…（7分）
（2）當(dāng)1≤x＜4時(shí)，T=2x-

x2

2

，對稱軸x=2，此時(shí)利潤T的最大值T_max=T（2）=2．…（9分）
當(dāng)x≥4時(shí)，T′=-1+

9

x2

=

9-x2

x2

=

(3+x)(3-x)

x2

＜0，…（10分）
所以T=-x-

9

x

+

25

4

在[4，+∞）上是減函數(shù)，…（11分）
此時(shí)利潤T的最大值T_max=T（4）=0，…（12分）
綜上所述，當(dāng)x=2時(shí)，T取最大值2，…（13分）
即當(dāng)日產(chǎn)量定為2（萬件）時(shí)，工廠可獲得最大利潤2萬元．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．