Question

一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點(diǎn)A₁的正上方有一個(gè)光源A，AA₁與球相切，AA₁=6，球在桌面上的投影是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的離心率等于（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據(jù)題意作出過(guò)圓錐的軸與橢圓長(zhǎng)軸AA₁的截面，可得直角三角形AOA₁，在此三角形中利用切線長(zhǎng)定理，利用三角形的面積等式求出A₁A₂，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出橢圓的參數(shù)a、c，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：如圖是過(guò)錐體的軸與橢圓長(zhǎng)軸A₁A₂的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，
可得球與長(zhǎng)軸A₁A₂的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)F，AA1⊥A₁A₂
設(shè)光線AA₁與球相切于點(diǎn)E，AA₂與球相切于點(diǎn)D，
且AF等于內(nèi)切圓的半徑也即球的半徑，即A₁E=A₁F=2，AA₁=6，
根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：A₁E=A₁F=2，AE=AD=AA₁-A₁E=4，
設(shè)FA₂=x，由三角形面積公式得：

1

2

（AA₁+A₁A₂+AA₂）r=

1

2

AA₁•AA₂
∴

1

2

（2+x+6+4+x）×2=

1

2

×6×（2+x）⇒x=6，
∴A₁A₂=8
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得長(zhǎng)軸A₁A₂=2a=8，⇒a=4，
AF是焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的距離AF=a-c=2，∴c=2，
∴

c

a

=

2

4

=

1

2

，所以所求橢圓的離心率為

1

2

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題以中心投影及中心投影作圖法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，同時(shí)考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關(guān)系和橢圓的定義與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．