在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且點(diǎn)P（0，1）在C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l的斜率為2且經(jīng)過橢圓C的左焦點(diǎn)．求直線l與該橢圓C相交的弦長．
分析：（Ⅰ）由橢圓C的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），知c=1，點(diǎn)P（0，1）代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，得b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）直線l的方程為y=2x+2，由
x2
2
+y2=1
y=2x+2
，得9x2+16x+6=0，由此能求出直線l與該橢圓C相交的弦長．
解答：解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓C的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），所以c=1，
點(diǎn)P（0，1）代入橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1，得
1
b2
=1，即b=1，
所以a2=b2+c2=2，所以橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）直線l的方程為y=2x+2，
x2
2
+y2=1
y=2x+2
，
消去y并整理得9x2+16x+6=0，
∴x1+x2=-
16
9
，x1x2=
6
9
，
|AB|=
1+k2
|x1-x2|
=
5
(x1+x2)2-4x1x2
=
10
2
9
．
∴直線l與該橢圓C相交的弦長為
10
2
9
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦長公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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