Question

已知G是△ABC的重心，直線EF過點G且與邊AB，AC分別交于E，F(xiàn)，

AE

=α

AB

，

AF

=β

AC

，求

1

α

+

1

β

的值．

Answer 1

分析：利用三角形的重心的性質(zhì)，用

AB

 ， 

AC

 表示出

EF

、

GE

，根據(jù)

EF

∥

GE

，則得

α

3

=β(α-

1

3

)，
解得

1

α

+

1

β

=3．

解答：解：由題意可得 

EF

=

AF

-

AE

=-α

AB

+β

AC

，由于G是△ABC的重心，設(shè)D為邊BC的中點，
則

AG

=

2

3

AD

=

2

3

×

1

2

(

AB

+

AC

)=

1

3

AB

+

1

3

AC

，∴

GE

=

AE

-

AG

=(α-

1

3

)

AB

-

1

3

AC

，
∵E，G，F(xiàn)三點共線 即

EF

∥

GE

，而

AB

，

AC

不共線，可作為一組基底，則

α

3

=β(α-

1

3

)，
解得

1

α

+

1

β

=3．

點評：本題考查平面向量基本定理，三角形的重心的性質(zhì)，用

AB

 ， 

AC

 表示出

EF

、

GE

 是解題的關(guān)鍵．