Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直線B₁C與平面ABC成30°角．
（1）求證：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求二面角B-B₁C-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據三棱錐是一個直三棱錐得到側棱與底面垂直，進而得到線與線垂直，根據面面垂直的判定定理得到線與面垂直．
（2）根據線面垂直得到∠BCB ₁為直線B₁C與平面ABC所成的角，由三垂線定理知AN⊥B₁C從而∠ANM為二面角B-B₁C-A的平面角，把平面角放到一個可解的三角形中，設出線段的長度，求出二面角的正切值．

解答：解：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱
∴AA₁⊥底面ABC
又∵AC?面ABC
∴AA₁⊥AC
又∵AC⊥AB，AB∩AA₁=A，
∴AC⊥平面ABB₁A₁
又∵AC?面B₁AC
∴平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱
∴BB₁⊥底面ABC
∠BCB ₁為直線B₁C與平面ABC所成的角，即∠BCB ₁=30° 
過點A作AM⊥BC于M，過M作MN⊥B₁C于N，連接AN．
∴平面BB₁CC₁⊥平面ABC
∴AM⊥平面BB₁C₁C
由三垂線定理知AN⊥B₁C從而∠ANM為二面角B-B₁C-A的平面角．
設AB=BB₁=a
在Rt△B₁BC中，BC=BB₁ cot30=

3

a
在Rt△BAC中，由勾股定理知AC=

BC2-AB2

=

2

a
又∵AM=

a• 2 a

3 a

=

6 a

3

在Rt△AMC中，CM=

AC2-AM2

=

2 3 a

3

在Rt△MNC中，MN=

1

2

CM=

3 a

3

在Rt△AMN中，tan∠ANM=

AM

MN

=

2

即二面角B-B1C-A的正切值為

2

點評：本題考查面面垂直和求二面角的正切值，本題解題的關鍵是利用垂直的知識先做出二面角的平面角，把平面角放到一個可解的三角形中來解，符合一畫二證三解的過程．