Question

（2011•昌平區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F（-1，0），離心率為

2

2

，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

c

a

=

2

2

，由此能夠求出橢圓的方程．
（II）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），由

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．由直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀），x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

，x₀=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，垂直平分線(xiàn)NG的方程為y-y₀=-

1

k

(x-x0)，由此能求出點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：c=1，a²=b²-c²，e=

c

a

=

2

2

…（2分）
解得：a=

2

，b=1（3分）
故橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1（4分）
（II）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），（5分）
聯(lián)立，得

y=k(x+1) x2 2 +y2=1

，
整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0（7分）
∵直線(xiàn)AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根．（8分）
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)N（x₀，y₀）
則x₁+x₂=

-4k2

1+2k2

（9分）
x₀=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

（10分）
垂直平分線(xiàn)NG的方程為y-y₀=-

1

k

(x-x0)，（11分）
令y=0，得x_G=x₀+ky₀=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．（12分）
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0（13分）
∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為（-

1

2

，0）．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．