P是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)上的一點(diǎn),已知
PF1
PF2
=0,|
PF1
|=2|
PF2
|

(1)試求雙曲線(xiàn)的離心率e;
(2)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)相交于P1、P2兩點(diǎn),當(dāng)
OP1
OP2
=-
27
4
2
PP1
+
PP2
=0,求雙曲線(xiàn)的方程.
分析:(1)由|
PF1
|=2|
PF2
|
|
PF1
|-|
PF2
|=2a
,得出|
PF1
|=4a
,|
PF2
|=2a
.再利用向量垂直的條件得到:(4a)2+(2a)2=(2c)2從而求雙曲線(xiàn)的離心率e.
(2)由(1)知,雙曲線(xiàn)的方程可設(shè)為
x2
a2
-
y2
4a2
=1
,設(shè)P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y).利用向量的數(shù)量積得到:x1x2=
9
4
結(jié)合向量條件得出x,y的表達(dá)式,最后根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上列出方程求得a2=2.從而得到雙曲線(xiàn)的方程.
解答:解(1)∵|
PF1
|=2|
PF2
|
,|
PF1
|-|
PF2
|=2a
,∴|
PF1
|=4a
,|
PF2
|=2a

PF1
PF2
=0,∴(4a)2+(2a)2=(2c)2,∴e=
c
a
=
5

(2)由(1)知,雙曲線(xiàn)的方程可設(shè)為
x2
a2
-
y2
4a2
=1
,漸近線(xiàn)方程為y=±2x.
設(shè)P1(x1,2x1),P2(x2,-2x2),P(x,y).
OP1
OP2
=-3x1x2=-
27
4
,∴x1x2=
9
4
.∵2
PP1
+
PP2
=0
,∴
x=
2x1+x2
3
y=
2(2x1-x2)
3
.

∵點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上,∴
(2x1+x2)2
9a2
-
(2x1-x2)2
9a2
=1

化簡(jiǎn)得,x1x2=
9a2
8
.∴
9a2
8
=
9
4
.∴a2=2.∴雙曲線(xiàn)的方程為
x2
2
-
y2
8
=1
點(diǎn)評(píng):本題考查向量與雙曲線(xiàn)的有關(guān)內(nèi)容.近幾年來(lái)向量與其他知識(shí)互相滲透成為一種時(shí)尚,特命此題正基于此.本題考查學(xué)生運(yùn)用圓錐曲線(xiàn)定義靈活解題的能力、向量知識(shí)、運(yùn)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (a>b>0)
上的任一點(diǎn),∠F1PF2最大值是120°,求橢圓離心率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=
1
2
,則此橢圓的離心率為( 。
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
5
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知P是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1
上的一點(diǎn),若
PF1
PF2
=0,tan∠PF1F2=2,則此雙曲線(xiàn)的離心率為( 。
A、
5
B、5
C、2
5
D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若P是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一點(diǎn),且
PF1
PF2
=0
,tan∠PF1F2=
1
2
,則此橢圓的離心率為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知點(diǎn)P是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一點(diǎn),且
PF1
PF2
=0
tan∠PF1F2=
1
2
,則該橢圓的離心率等于
5
3
5
3

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