Question

P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的一點，已知

PF1

•

PF2

=0，|

PF1

|=2|

PF2

|．
（1）試求雙曲線的離心率e；
（2）過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P₁、P₂兩點，當(dāng)

OP1

•

OP2

=-

27

4

，2

PP1

+

PP2

=0，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）由|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a，得出|

PF1

|=4a，|

PF2

|=2a．再利用向量垂直的條件得到：（4a）²+（2a）²=（2c）²從而求雙曲線的離心率e．
（2）由（1）知，雙曲線的方程可設(shè)為

x2

a2

-

y2

4a2

=1，設(shè)P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．利用向量的數(shù)量積得到：x1x2=

9

4

結(jié)合向量條件得出x，y的表達(dá)式，最后根據(jù)點P在雙曲線上列出方程求得a²=2．從而得到雙曲線的方程．

解答：解（1）∵|

PF1

|=2|

PF2

|，|

PF1

|-|

PF2

|=2a，∴|

PF1

|=4a，|

PF2

|=2a．
∵

PF1

•

PF2

=0，∴（4a）²+（2a）²=（2c）²，∴e=

c

a

=

5

．
（2）由（1）知，雙曲線的方程可設(shè)為

x2

a2

-

y2

4a2

=1，漸近線方程為y=±2x．
設(shè)P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．
∵

OP1

•

OP2

=-3x1x2=-

27

4

，∴x1x2=

9

4

．∵2

PP1

+

PP2

=0，∴

x= 2x1+x2 3 y= 2(2x1-x2) 3 .

∵點P在雙曲線上，∴

(2x1+x2)2

9a2

-

(2x1-x2)2

9a2

=1．
化簡得，x1x2=

9a2

8

．∴

9a2

8

=

9

4

．∴a²=2．∴雙曲線的方程為

x2

2

-

y2

8

=1

點評：本題考查向量與雙曲線的有關(guān)內(nèi)容．近幾年來向量與其他知識互相滲透成為一種時尚，特命此題正基于此．本題考查學(xué)生運用圓錐曲線定義靈活解題的能力、向量知識、運算能力．