Question

如圖1-3-15，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點，且AD =AC，DE⊥BC，DE與AB相交于點E，EC與AD相交于點F.

圖1-3-15

(1)求證:△ABC∽△FCD；

(2)若S_△FCD?=5，BC＝10，求DE的長.

Answer 1

思路分析:第(1)問,∵AD = AC，∴∠ACB=∠CDF.又D是BC中點，ED⊥BC，?

∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.?

第(2)問利用相似三角形的性質，作AM⊥BC于M，易知S_△ABC=4S_△FCD.∴S_△ABC=20，AM =4.

又∵AM∥ED，∴=.再根據等腰三角形的性質及中點，可以求出DE.也可運用△ABC∽△FCD，由相似比為2，證出F是AD的中點，通過“兩三角形等底等高，則面積相等”，求出S_△ABC=20.

(1)證明:∵DE⊥BC，D是BC中點，∴EB =EC.?

∴∠B=∠1.?

又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB.?

∴△ABC∽△FCD.

(2)解法一:過點A作AM⊥BC，垂足為點M.(如圖所示)?

∵△ABC∽△FCD，BC =2CD，?

∴=()²=4.?

又∵S_△FCD =5，∴S_△ABC =20.?

∵S_△ABC?= BC·AM，BC =10，

∴20 =×10×AM.∴AM =4.?

又∵DE∥AM，∴=.?

∵ ，BM =BD +DM，BD =，∴=.?

∴.?

解法二:作FH⊥BC，垂足為點H.(如圖所示)?

∵S_△FCD = DC·FH，?

又∵S_△FCD?=5， ，?

∴5=×5×FH.∴FH =2.?

過點A作AM⊥BC，垂足為點M，?

∵△ABC∽△FCD，?

∴= =.∴AM =4.?

又∵FH∥AM，∴= = =.?

∴點H是DM的中點.?

又∵FH∥DE，∴=.?

∵HC =HM +MC=，∴=.∴.