已知a、b均為非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．

答案：
解析：

　　答案：解法一：∵a＋3b與7a－5b垂直，

　　∴(a＋3b)(7a－5b)＝0，即7｜a｜2＋16a·b－15｜b｜2＝0．①

　　同理，由a－4b與7a－2b垂直可得：7｜a｜2－30a·b＋8｜b｜2＝0．②

　�、伲诘�46a·b＝23｜b｜2，∴a·b＝｜b｜2．③

　　將③代入①得｜a｜2＝｜b｜2，∴｜a｜＝｜b｜．

　　設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝．

　　∴θ＝，即所求的a與b的夾角為．

　　解法二：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則

　　a＋3b＝(x1＋3x2，y1＋3y2)，7a－5b＝(7x1－5x2，7y1－5y2)．

　　由(a＋3b)⊥(7a－5b)得：

　　(x1＋3x2)(7x1－5x2)＋(y1＋3y2)(7y1－5y2)＝0，

　　∴7＋16x1x2－15＋7＋16y1y2－15＝0．①

　　同理，由(a－4b)⊥(7a－2b)可得：

　　7－30x1x2＋8＋7－30y1y2＋8＝0．②

　　由①－②得46(x1x2＋y1y2)＝23(＋)．

　　∴x1x2＋y1y2＝(＋)．③

　　將③代入①得＋＝＋．

　　設(shè)a與b的夾角為θ，則

　　cosθ＝＝＝，

　　∴θ＝，即a與b的夾角為．

　　分析：由向量的數(shù)量積的定義a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ，只要找出a、b之間的內(nèi)在關(guān)系，就可以求出所求夾角θ而由已知條件可以求出a與b之間的關(guān)系，或利用向量的坐標(biāo)形式，借助結(jié)論cosθ＝解題．


提示：

解答本題的關(guān)鍵在于目標(biāo)應(yīng)明確，運(yùn)算思路要清楚．如在解法一中，當(dāng)①－②得到a·b＝｜b｜2時(shí)，若不代回①得出｜a｜＝｜b｜，就很難直接用cosθ＝得出cosθ的值，甚會(huì)面對(duì)a·b＝｜b｜2感到一籌莫展．解法二中，同樣也可以作類似的變形，這表明，在涉及數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算時(shí)，可據(jù)已知條件進(jìn)行靈活變形．本題是用向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度問題，兩種方法只是向量的表示形式不同，本質(zhì)上是一致的，可謂“殊途同歸”．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以下五個(gè)命題:

①若a≠0,且a·b=0,則b=0;

②若a=0,則a·b=0;

③若a·b=a·c(其中a、b、c均為非零向量),則b=c;

④若a、b、c均為非零向量,(a·b)c=a(b·c)一定成立;

⑤已知a、b、c均為非零向量,則｜a+b+c｜=｜a｜+｜b｜+｜c(diǎn)｜成立的充要條件是a、b與c同向.

其中正確命題的序號(hào)是______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以下五個(gè)命題：

①若則則b=0；

②若a=0，則=0；

③若，（其中a、b、c均為非零向量），則b=c；

④若a、b、c均為非零向量，（一定成立；

⑤已知a、b、c均為非零向量，則成立的充要條件是a、b與c同向其中正確命題的序號(hào)是_______________。

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