Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)f (x)=lnx，g(x)=e^x．

 （I）若函數(shù)φ (x) = f (x)－，求函數(shù)φ (x)的單調(diào)區(qū)間；

 （Ⅱ）設(shè)直線l為函數(shù) y＝f (x) 的圖象上一點A(x₀，f (x₀))處的切線．證明：在區(qū)間(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g(x)相切．

注：e為自然對數(shù)的底數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ） ，

．  2分

∵且，

∴

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．··············· 4分

（Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切線的方程為, http:// /

即, 　�、� ······················ 6分

設(shè)直線與曲線相切于點，

∵，∴，∴．················· 8分

∴直線也為，

即，  ②······················· 9分

由①②得 ，

∴．···························· 11分

下證：在區(qū)間（1，+）上存在且唯一.

由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．

又，，······ 13分

結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一．                                               

故結(jié)論成立．

【解析】略