Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAF的周長(zhǎng)最大時(shí)，△PAF的面積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，利用橢圓定義轉(zhuǎn)化可得使△PAF的周長(zhǎng)最大時(shí)的P的位置，求出其縱坐標(biāo)，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：由橢圓$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，得a²=2，b²=1，
則c²=a²-b²=1．
∴F（1，0），而A（0，1），
如圖：

設(shè)F′是左焦點(diǎn)，
則△APF周長(zhǎng)=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF′|=3a+|AP|-|PF′|
≤$3\sqrt{2}$+|AF′|（A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，且P在AF′的延長(zhǎng)線上，取等號(hào)），
直線AF′的方程為y=x+1，與橢圓方程聯(lián)立可得${y}_{P}=-\frac{1}{3}$．
∴當(dāng)△PAF的周長(zhǎng)最大時(shí)，△PAF的面積為$\frac{1}{2}×2×（1+\frac{1}{3}）=\frac{4}{3}$．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義，以及三點(diǎn)共線時(shí)取得最值，同時(shí)考查三角形面積的計(jì)算，確定P的坐標(biāo)是關(guān)鍵，是中檔題．