Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx，g（x）=

lnx

x

，它們的定義域都是（0，e]．（e≈2.718）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f（m）＞g（n）+

17

27

對(duì)一切m，n∈（0，e]恒成立；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的最小值是3？如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出；
（2）f（m）＞g（n）+

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對(duì)一切m，n∈（0，e]恒成立?f(x)min＞g(x)max+

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，分別利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的最小值是3，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．分類討論：當(dāng)a≤

1

e

時(shí)，當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： （1）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
∵f（x）定義域是（0，e]，當(dāng)x=1時(shí)f'（x）=0，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e]時(shí)f'（x）＞0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值f（1）=1．
（2）證明：由（1）知，在a=1且m∈（0，e]時(shí)，有f（m）≥1．
又∵x∈（0，e]，g′(x)=

1-lnx

x2

≥0，
∴g（x）在區(qū)間（0，e]上為增函數(shù)，g(x)≤g(e)=

1

e

＜

1

2.7

=

10

27

，
∴當(dāng)n∈（0，e]時(shí)，g(n)+

17

27

＜

10

27

+

17

27

=1．
∵f（m）≥1，∴f(m)＞g(n)+

17

27

對(duì)一切m，n∈（0，e]恒成立．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）的最小值是3，f′(x)=a-

1

x

=

ax-1

x

．
①當(dāng)a≤

1

e

時(shí)，∵x∈（0，e]，∴ax≤1，f'（x）≤0，
∴f（x）在（0，e]上為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=e時(shí)f（x）取最小值f（e）=ae-1=3，此時(shí)a=

4

e

，矛盾，故舍去．
②當(dāng)a＞

1

e

時(shí)，令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

a

；令f'（x）＞0，得

1

a

＜x≤e．
∴f（x）在(0，

1

a

]上為減函數(shù)，在(

1

a

，e]上為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（x）取最小值f(

1

a

)=1-ln

1

a

=3，此時(shí)a=e²．
∴假設(shè)成立，因此存在a=e²，使得f（x）的最小值是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．