Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．a(chǎn)∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0可求出函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，注意與定義域求交集；
（2）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間（0，

1

2

）上恒成立不可能，故要使函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，然后利用參變量分離，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)的最值即可求出a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，
則f′(x)=1-

2

x

，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞）．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）＜0在區(qū)間（0，

1

2

）上恒成立不可能，
故要使函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)任意的x∈（0，

1

2

），f（x）＞0恒成立，
即對(duì)x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立．
令l′(x)=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
則l′(x)=-

2 x (x-1)-2lnx

(x-1)2

=

2lnx+ 2 lnx -2

(x-1)2

，
再令m(x)=2lnx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），則m′(x)=-

2

x2

+

2

x

=

-2(1-x)

x2

＜0，
故m（x）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)，于是m（x）＞m(

1

2

)=2-2ln2＞0，
從而l（x）＞0，于是l（x）在（0，

1

2

）上為增函數(shù)，
所以l（x）＜l(

1

2

)=2-4ln2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
綜上，若函數(shù)f（x）在（0，

1

2

）上無(wú)零點(diǎn)，則a的最小值為2-4ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和參變量分離的方法以及運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．