Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，被方向向量

m

=（6，6）的直線截得的弦的中點為（4，1），則該雙曲線離心率的值為（　�。�

• A、

  5

  2

• B、

  6

  2

• C、

  10

  2

• D、2

Answer 1

分析：設l與雙曲線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有

x12 a 2 - y12 b 2 =1 x22 a 2 - y22 b 2 =1

，兩式相減，得 kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a 2(y1+y2)

，由此能求出a，b的關系，最后求得雙曲線的離心率即可．

解答：解：設l與雙曲線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有

x12 a 2 - y12 b 2 =1 x22 a 2 - y22 b 2 =1

，兩式相減，
得 kAB=

y1-y2

x1-x2

=-

b2(x1+x2)

a 2(y1+y2)

，
由直線方向向量

m

=（6，6）得k_AB=1，
截得的弦的中點為（4，1），得x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
∴

b2×8

a 2×2

=1，a²=4b²
得雙曲線的離心率

c

a

=

a 2+b 2 a 2

= 

5b2 4b2

=

5

2

故選A．

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質、直線與圓錐曲線的綜合問題．本題考查雙曲線的中點弦的求法，解題時要注意點差法的合理運用．