Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=2^x-1．
（Ⅰ）求f（3）+f（-1）；
（Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈A，f（x）∈[-7，3]，求區(qū)間A．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)代入已知式子可求；
（Ⅱ）設(shè)x＜0，則-x＞0，易求f（-x），根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得f（x）與f（-x）的關(guān)系；
（Ⅲ）作出f（x）的圖象，由圖象可知f（x）單調(diào)遞增，由f（x）=-7及f（x）=3可求得相應(yīng)的x值，結(jié)合圖象可求得A；

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（3）+f（-1）=f（3）-f（1）=2³-1-2+1=6；
（Ⅱ）設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=2^-x-1，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=-2^-x+1，
∴f(x)=

2x-1，x≥0 -2-x+1， x＜0

；
（Ⅲ）作出函數(shù)f（x）的圖象，如圖所示：
根據(jù)函數(shù)圖象可得f（x）在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)x＜0時，-7≤-2^-x+1＜0，解得-3≤x＜0；
當(dāng)x≥0時，0≤2^x-1≤3，解得0≤x≤2；
∴區(qū)間A為[-3，2]．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用，考查指數(shù)不等式的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生解決問題的能力．