Question

已知a為實數，函數f（θ）=sinθ+a+3．
（1）若f（θ）=cosθ（θ∈R），試求a的取值范圍；
（2）若a＞1，，求函數f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知sinθ-cosθ=-3-a，然后根據輔助角公式求出sinθ-cosθ的范圍，從而求出a的范圍；
（2）討論a，當時利用基本不等式求出函數的最值，當時利用函數的單調性求出最值即可．
解答：解：（1）f（θ）=cosθ即sinθ-cosθ=-3-a，又，（2分）
所以，從而a的取值范圍是．      …（5分）
（2），令sinθ+1=x，則0＜x≤2，因為a＞1，
所以，當且僅當時，等號成立，（8分）
由解得，所以當時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是； …（11分）
下面求當時，函數f（θ）+g（θ）的最小值．
當時，，函數在（0，2]上為減函數．
所以函數f（θ）+g（θ）的最小值為．            …（12分）
當時，函數在（0，2]上為減函數的證明：任取0＜x₁＜x₂≤2，，因為0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以，h（x₂）-h（x₁）＜0，由單調性的定義函數在（0，2]上為減函數．
于是，當時，函數f（θ）+g（θ）的最小值是；
當時，函數f（θ）+g（θ）的最小值．                               …（15分）
點評：本題主要考查了函數的值域，以及利用基本不等式求最值和利用函數單調性求最值，屬于中檔題．