給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是
.
(1)若橢圓C上一動點(diǎn)滿足
,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)
的直線的最短距離
.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
(1)橢圓方程,伴隨圓方程
;(2)
;(3)存在,
.
【解析】
試題分析:(1)這是基本題,題設(shè)實(shí)質(zhì)已知,要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,已知圓心及半徑求圓的方程;(2)為了求
點(diǎn)坐標(biāo),我們可設(shè)直線
方程為
,直線
與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),即直線
的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組,這個(gè)方程組只有一個(gè)解,消元后利用
可得
的一個(gè)方程,又直線
截圓所得弦長為
,又得一個(gè)關(guān)于
的方程,聯(lián)立可解得
;(3)這是解析幾何中的存在性問題,解決方法都是假設(shè)存在,然后去求出這個(gè)
,能求出就說明存在,不能求出就說明不存在.解法如下,寫出過點(diǎn)
的直線方程,求出圓心到這條直線的距離為
,可見當(dāng)圓半徑不小于3時(shí),圓上的點(diǎn)到這條直線的最短距離為0,即當(dāng)
時(shí),
,但由于
,無解,當(dāng)圓半徑小于3時(shí),圓上的點(diǎn)到這條直線的最短距離為
,由此得
,又有
,可解得
,故存在.
試題解析:(1)由題意:,則
,所以橢圓
的方程為
, 2分
其“伴隨圓”的方程為. 4分
(2)設(shè)直線的方程為
由得
6分
則有得
, ①
7分
由直線截橢圓
的“伴隨圓”所得弦長為
,可得
,得
②
8分
由①②得,又
,故
,所以
點(diǎn)坐標(biāo)為
. 10分
(3)過的直線的方程為:
,
即,得
12分
由于圓心到直線
的距離為
,
14分
當(dāng)時(shí),
,但
,所以,等式不能成立;
當(dāng)時(shí),
,
由得
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030105142724253047/SYS201403010510426361821792_DA.files/image056.png">,所以,
得.所以
18分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月模擬考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分14分)
給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到
距離為
.
(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線
與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且
截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為
,求
的值;
(Ⅲ)過橢圓C“伴橢圓”上一動點(diǎn)Q作直線,使得
與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),試判斷直線
的斜率之積是否
為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)
給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到
距離為
.
(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線
與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且
截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為
,求
的值;
(Ⅲ)過橢圓C“伴橢圓”上一動點(diǎn)Q作直線,使得
與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),試判斷直線
的斜率之積是否為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期期末考試(一模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是
.
(1)若橢圓C上一動點(diǎn)滿足
,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為
,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過兩點(diǎn)
的直線的最短距離
.若存在,求出a,b的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖北省高三5月模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分13分)
給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”. 若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到
距離為
.
(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線
與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且
截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為
,求
的值;
(Ⅲ)過橢圓C“伴橢圓”上一動點(diǎn)Q作直線,使得
與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),試判斷直線
的斜率之積是否為定值,并說明理由.
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