Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3x+4

x2+1

，g(x)=

6a2

x+a

，a＞

1

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值與極小值；
（2）若對(duì)函數(shù)的x₀∈[0，a]，總存在相應(yīng)的x₁，x₂∈[0，a]，使得g（x₁）≤f（x₀）≤g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再令f′（x）=0，，從而求出函數(shù)f（x）的極大值與極小值；（2）分別求出函數(shù)的最值，利用只需在區(qū)間[0，a]上有[f（x）]_max≤[g（x）]_max且[f（x）]_min≥[g（x）]_min可求．

解答：解：（1）定義域?yàn)镽 f′(x)=

3(x2+1)-(3x+4)•2x

(x2+1)2

=

-(3x-1)(x+3)

(x2+1)2

x	（-∞，-3）	-3	(-3， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

令f′(x)=0，x1=-3．x2=

1

3

，且

∴f（x）：極大值為f(

1

3

)=

9

2

極小值為f(-3)=-

1

2

（2）依題意，只需在區(qū)間[0，a]上有[f（x）]_max≤[g（x）]_max且[f（x）]_min≥[g（x）]_min
∴f（x）在[0，

1

3

]↑，[

1

3

，a]↓?[f(x)]max=f(

1

3

)=

9

2

，f(x)取小值f（0）或f（a）
又f(0)=4，f(a)=

3k+4

a2+1

，f(a)-f(0)=

a(3-4a)

a2+1

∴當(dāng)

1

3

＜a＜

3

4

時(shí)，[f（x）]_min=f（0）=4，當(dāng)a≥

3

4

時(shí)，[f(x)]min=f(a)=

3a+4

a2+1

又g（x）在[0，a]↓?[g（x）]_max=g（0）=6a，[g（x）]_min=g（a）=3a
∴當(dāng)

1

3

＜a＜

3

4

時(shí)，

9

2

≤6a；當(dāng)a≥

4

3

時(shí)，

3a+4

a2+1

≥3a
∴

3

4

≤a≤

3	4 3

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)極值的能力．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，注意f′（x₀）=0是x=x₀是極值點(diǎn)的必要不充分條件，因此對(duì)于解得的結(jié)果要檢驗(yàn)，這是易錯(cuò)點(diǎn)．