Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點分別為A₁A₂，左、右頂點分別為B₁，B₂為坐標原點，若直線A₁B₂的斜率為-

1

2

，△A₁OB₂的斜邊上的中線長為

5

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）P是橢圓C上異于A₁，A₂，B₁，B₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用直線A₁B₂的斜率為-

1

2

，得到已改方程，利用△A₁OB₂的斜邊上的中線長為

5

2

，得到另一個方程，求出a，b．即可求橢圓C的方程．
（2）由（1）可知，A₁，A₂．設(shè)點P（x₀，y₀），表示出N，M的坐標，設(shè)圓G的圓心為(

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)，h)，設(shè)圓G的半徑為r，通過點在圓上，推出|OG|2=

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2+h2．然后求出|OT|的表達式，利用點P（x₀，y₀）在橢圓上，化簡即可求出|OT|的值．

解答： 解：（1）因為直線A₁B₂的斜率為-

1

2

，
所以

b-0

0-a

=-

1

2

．①
因為△A₁OB₂的斜邊上的中線長為

5

2

，且△A₁OB₂是直角三角形，
又直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半，
所以

1

2

a2+b2

=

5

2

．②
由①②，解得a=2，b=1．
故所求橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（3分）
（2）由（1）可知，A₁（0，1），A₂（0，-1）．
設(shè)點P（x₀，y₀），則
直線PA1：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得xN=-

x0

y0-1

；
直線PA2：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得xM=

x0

y0+1

；
設(shè)圓G的圓心為(

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)，h)，
設(shè)圓G的半徑為r，則r2=[

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)-

x0

y0+1

]2+h2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2.|OG|2=

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2+h2.|OT|2=|OG|2-r2=

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2+h2-

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2-h2=

x02

1-y02

．
又點P（x₀，y₀）在橢圓C：

x2

4

+y2=1上，則

x02

4

+y02=1．
所以x02=4(1-y02)．則

x02

1-y02

=4．
即|OT|²=4．所以|OT|=2．
即線段OT的長度為定值2．   …（9分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，圓與橢圓的綜合應(yīng)用，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系，運算量大，容易出錯．