Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點，F(xiàn)為AE的中點．現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列兩問：

（Ⅰ）在線段AB上是否存在一點K，使BC∥面DFK？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）若面ADE⊥面ABCE，求證：面BDE⊥面ADE．

Answer 1

解：（Ⅰ）線段AB上存在一點K，且當時，BC∥面DFK，
證明如下：
設H為AB的中點，連接EH，則BC∥EH，
又∵，F(xiàn)為AE的中點，
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF?面DFK，BC?面DFK，
∴BC∥面DFK．
（II）∵在折起前的圖形中E為CD的中點，AB=2，BC=1，
∴在折起后的圖形中：，
從而AE²+BE²=4=AB²
∴AE⊥BE．
∵面ADE⊥面ABCE，面ADE∩面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BDE，∴面BDE⊥面ADE．
分析：（Ⅰ）線段AB上存在一點K，且當時，BC∥面DFK；設H為AB的中點，連接EH，則BC∥EH，利用三角形的中位線定理即可證明FK∥BC，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）利用勾股定理的逆定理即可證明BE⊥AE，又面ADE⊥面ABCE，利用面面垂直的性質可得BE⊥平面ADE，再利用面面垂直的判定定理即可證明結論．
點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性質和判定定理、線面垂直的判定定理是解題的關鍵．