Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，起，求的取值范圍；

（3）令， ，證明： .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零，求其單增區(qū)間即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的極小值，由題意極小值小于零即可求出；（3）構(gòu)造函數(shù)，求其最小值，則當(dāng)時(shí)， 即，代換得，累加即可得證.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， 得，解得，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2），依題意可知，此時(shí)得，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又或時(shí)，

，

∴的圖象與軸交于兩點(diǎn)，

當(dāng)且僅當(dāng)即

得.

∴的取值范圍為.

（3）令，

∵，∵，得

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，得.

當(dāng)時(shí)， 即.

令， 得，則疊加得：

，

即.