Question

已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)K(-1，0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為D．
(Ⅰ)證明：點(diǎn)F在直線BD上；
(Ⅱ)設(shè)，求△BDK的內(nèi)切圓M的方程。

Answer 1

解：設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，D(x₁，-y₁)，
l的方程為x=my-1(m≠0)，
(Ⅰ)將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，
從而y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，① 
直線BD的方程為，即，
令y=0，得，
所以點(diǎn)F(1，0)在直線BD上．
(Ⅱ)由①知，x₁+x₂=(my₁-1)+(my₂-1)=4m²-2，x₁x₂=(my₁-1)(my₂-1)=1，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110729/201107291107248121698.gif" border=0>，
(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=x₁x₂-(x₁+x₂)+1+4=8-4m²，故，解得，
所以l的方程為3x+4y+3=0，3x-4y+3=0，
又由①知，，
故直線BD的斜率，
因而直線BD的方程為，
因?yàn)镵F為∠BKD的平分線，
故可設(shè)圓心M(t，0)(-1＜t＜1)，
M(t，0)到l及BD的距離分別為，
由，得或t=9（舍去），
故圓M的半徑，
所以圓M的方程為。