Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其側面展開圖是邊長為8的正方形．E、F分別是側棱AA₁、CC₁上的動點，AE+CF=8．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求CF．

Answer 1

（1）證明：連接AC，由ABCD是菱形得，AC⊥BD
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABC
∴AA₁⊥BD
∵AA₁∩AC=A
∴BD⊥平面AA₁C₁C
∵EF?平面AA₁C₁C
∴BD⊥EF
（2）解：連AC交BD與O，
∵EF∥平面PBD
∴EF∥PO
過點C作CQ∥OP交AA₁于點Q
∵EF∥PO
∴EF∥QC
∴QE=CF
∵四邊形EFCQ為菱形．
∴O為AC的中點
∴P為AQ的中點
∴PQ=AP=2
∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8
∴CF=2
分析：（1）證明BDBD⊥平面AA₁C₁C，即可得到結論；
（2）利用線面平行的性質得到線線平行，再利用線之間的數(shù)量關系，就可求得CF的長．
點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理及性質、線面平行的性質定理，同時也考查了棱柱的有關知識．屬于常規(guī)題．