Question

如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過(guò)細(xì)繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離（即OB）為2m，在圓環(huán)上設(shè)置三個(gè)等分點(diǎn)A₁，A₂，A₃．點(diǎn)C為OB上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)O、B），同時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A₁，A₂，A₃，B均用細(xì)繩相連接，且細(xì)繩CA₁，CA₂，CA₃的長(zhǎng)度相等．設(shè)細(xì)繩的總長(zhǎng)為ym．
（1）設(shè)∠CA₁O=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)θ，當(dāng)角θ正弦值的大小是多少時(shí)，細(xì)繩總長(zhǎng)y最小，并指明此時(shí) BC應(yīng)為多長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由于細(xì)繩的總長(zhǎng)包括CB長(zhǎng)及CA₁，CA₂，CA₃的長(zhǎng)，CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，故可表示細(xì)繩的總長(zhǎng)；
（2）利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，由于是單峰函數(shù)，故極值點(diǎn)就為最值點(diǎn)，所以利用求極值的方法可求最值．

解答：解：（1）在Rt△COA₁中，CA1=

2

cosθ

，CO=2tanθ，…（2分）y=3CA1+CB=3•

2

cosθ

+2-2tanθ=

2(3-sinθ)

cosθ

+2（0＜θ＜

π

4

）…（7分）
（2）y/=2

-cos2θ-(3-sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=2

3sinθ-1

cos2θ

，
令y'=0，則sinθ=

1

3

…（12分）
當(dāng)sinθ＞

1

3

時(shí)，y'＞0；sinθ＜

1

3

時(shí)，y'＜0，
∵y=sinθ在[0，

π

4

]上是增函數(shù)
∴當(dāng)角θ滿足sinθ=

1

3

時(shí)，y最小，最小為4

2

+2；此時(shí)BC=2-

2

2

m       …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問(wèn)題，主要考查引進(jìn)角參數(shù)，構(gòu)建三角函數(shù)模型，同時(shí)考查利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值，由于是單峰函數(shù)，故極值點(diǎn)就為最值點(diǎn)