已知α、β∈（0，
π
2
），且α+β＞
π
2
，f(x)=(
cosα
sinβ
)x+(
cosβ
sinα
)x．
求證：對于x＞0，有f（x）＜2．
分析：通過y=sinx，在(0，
π
2
)上為增函數(shù)，y=cosx在(0，
π
2
)上為減函數(shù)，利用sinα＞sin（
π
2
-β）=cosβ，cosα＜cos(
π
2
-β)=sinβ，推出0＜
cosα
sinβ
 ＜ 1，0＜
cosβ
sinα
 ＜1，得到結(jié)果．
解答：證明：∵α+β＞
π
2
，∴α＞
π
2
-β；∵α、β∈（0，
π
2
），
π
2
-β∈(0，
π
2
)；
因為y=sinx，在(0，
π
2
)上為增函數(shù)，
y=cosx在(0，
π
2
)上為減函數(shù)，
sinα＞sin（
π
2
-β）=cosβ，cosα＜cos(
π
2
-β)=sinβ，
又sinα＞0，sinβ＞0，∴0＜
cosα
sinβ
 ＜ 1，0＜
cosβ
sinα
 ＜1，
∵y=ax，（0＜a＜1）在R上為減函數(shù)，且x＞0，∴(
cosα
sinβ
)x＜ 1，(
cosβ
sinα
)x＜1，
從而f(x)=(
cosα
sinβ
)x+(
cosβ
sinα
)x＜2
點評：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知P（4，0）是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線ax+by+c=0被曲線M：
x=2cosθ
y=2sinθ
所截得的弦AB的長為2，O為原點，那么
OA
•
OB
的值等于
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點，
AD
•
BC
=0，H是△ABC的垂心，且
AH
=3
HD
．
（Ⅰ）求點H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點且斜率為-
1
2
的直線與軌跡M交于點P，點Q（t，0）是x軸上任意一點，求當(dāng)△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)平面上，已知A（-5，0）、B（3，0），點C在直線y=x+1上，若∠ACB＞90°，則點C的橫坐標(biāo)的取值范圍是
（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＜b＜0，那么下列不等式中一定成立的是   （　　）

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同步練習(xí)冊答案