Question

函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調函數(shù)的必要不充分條件是（　�。�

• A．a≤-3或

  3

  2

  ≤a≤3
• B．a≤1或a≥

  3

• C．a≤-1或a≥

  3

  2

• D．a≤-

  3

  或1≤a≤3

Answer 1

分析：由于函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，故要使其為單調增函數(shù)，需每段上為增函數(shù)且x＜0時的最大值小于或等于x≥0時的最小值，同理得出其為單調減函數(shù)的條件，因此先求函數(shù)為增函數(shù)的充要條件，再比較選項中的集合與充要條件集合的包含關系即可判斷其充要性．

解答：解：函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

，為分段函數(shù)，
（1）當函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調增函數(shù)時，
當x≥0時，y=ax²為二次函數(shù)，圖象是對稱軸為y軸的拋物線，它為增函數(shù)時，有a＞0；
當x＜0時，f（x）=（a²-1）e^ax是增函數(shù)，它的導函數(shù)為f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≥0得-1≤a≤0或a≥1，且（a²-1）e⁰≤0即-1≤a≤1，
∴綜合得a=1；
（2）當函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調減函數(shù)時，
當x≥0時，y=ax²為二次函數(shù)，圖象是對稱軸為y軸的拋物線，它為減函數(shù)時，有a＜0；
當x＜0時，f（x）=（a²-1）e^ax是減函數(shù)，它的導函數(shù)為f′（x）=a（a²-1）e^ax，
令f′（x）≤0得
0≤a≤1或a≤-1，
且（a²-1）e⁰≥0即a≤-1或a≥1，
∴綜合得a≤-1．
綜上所述，函數(shù)f（x）=

ax2               x≥0 (a2-1)eax    x＜0

在（-∞，+∞）上是單調函數(shù)的充要條件是a≤-1或a=1，
∵選項D：“a≤-

3

或1≤a≤3”⇒a≤-1或a=1，反之不成立．
∴選項D：“a≤-

3

或1≤a≤3”是“f（x）在R上單調遞增”的必要不充分條件．
故選D．

點評：本題考查了分段函數(shù)的單調性的判斷方法，判斷命題充要性的方法，導函數(shù)的應用等，屬于基礎題．