Question

設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立；數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和值域；
（2）試寫(xiě)出一個(gè)區(qū)間（a，b），使得當(dāng)a₁∈（a，b）時(shí)，數(shù)列{a_n}在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)任意n∈N^*，都有-1+（-1）^n-12λ+nlog₃2恒成立，若存在，求之；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f（x）≤6x+2恒成立及使（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，建立不等關(guān)系可求出k的值，從而求出函數(shù)的值域；
（2）若數(shù)列{a_n}在某個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，則a_n+1-a_n＞0，則a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n＞0，又當(dāng)時(shí)，所以對(duì)一切n∈N^*，均有，且a_n+1-a_n＞0；所以數(shù)列a_n在區(qū)間上是遞增數(shù)列；
（3）令，可證得數(shù)列{lgb_n+lg2}是為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1有最小值為1．則λ＜1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最大值為-2，則λ＞-2，從而對(duì)任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整數(shù)求出λ的值．
解答：解：（1）由f（x）≤6x+2恒成立，即（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，從而得：，
化簡(jiǎn)得，從而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，其值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024182105713916433/SYS201310241821057139164022_DA/9.png">．
（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列a_n在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
若數(shù)列{a_n}在某個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，則a_n+1-a_n＞0；
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0；
時(shí)，，
所以對(duì)一切n∈N^*，均有，且a_n+1-a_n＞0；所以數(shù)列a_n在區(qū)間上是遞增數(shù)列．
（3）由（2）知，，從而；
當(dāng)n≥1時(shí)，，即；
令，則有b_n+1=2b_n²，且；從而有l(wèi)gb_n+1=2lgb_n+lg2，即lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2）；
所以數(shù)列{lgb_n+lg2}是為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列；
從而得，即，所以，
所以，所以，
所以，=．
即2ⁿ+nlog₃2-12ⁿ+（log₃2）n-1＞（-1）^n-12λ+nlog₃²-1nlog₃2-1，所以，2^n-1＞（-1）^n-1λ恒成立
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=1時(shí)，2^n-1有最小值為1．∴λ＜1
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即λ＞-2^n-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，有最大值為-2．∴λ＞-2
所以，對(duì)任意n∈N^*，有-2＜λ＜1．又λ非零整數(shù)，∴λ=-1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力、推理能力，有一定的難度，屬于難題．