Question

過拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且|AF|=3|BF|，那么直線l的斜率為（　　）

• A、±

  2

• B、±1
• C、±

  3

  3

• D、±

  3

Answer 1

分析：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l′：x=-

p

2

．如圖所示，當(dāng)直線AB的傾斜角為銳角時(shí)，分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足為M，N．過點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于|AF|=3|BF|=

3

4

|AB|，可得|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=

1

2

|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=

1

2

|AB|，可得∠BAC=60°．由于AM∥x軸，可得∠BAC=∠AFx=60°．即可得到kAB=tan60°=

3

．當(dāng)直線AB的傾斜角為鈍角時(shí)，同理可得．

解答：解：設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l′：x=-

p

2

．
如圖所示，
①當(dāng)直線AB的傾斜角為銳角時(shí)，
分別過點(diǎn)A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足為M，N．
過點(diǎn)B作BC⊥AM交于點(diǎn)C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=

3

4

|AB|，
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=

1

2

|AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|=

1

2

|AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x軸，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴kAB=tan60°=

3

．
②當(dāng)直線AB的傾斜角為鈍角時(shí)，可得kAB=-

3

．
綜上可知：直線l的斜率為±

3

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、含60°角的直角三角形的性質(zhì)、直線的傾斜角與斜率、平行線的性質(zhì)、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．