Question

6．如圖，A₁，A₂為橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$長軸的左、右端點，O為坐標原點，S，Q，T為橢圓上不同于A₁，A₂的三點，直線QA₁，QA₂，OS，OT圍成一個平行四邊形OPQR，則|OS|²+|OT|²=（　　）

• A． 14
• B． 12
• C． 9
• D． 7

Answer 1

分析 利用橢圓的標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：設Q（x，y），T（x₁，y₁），S（x₂，y₂），QA₁，QA₂斜率分別為k₁，k₂，
則OT，OS的斜率為k₁，k₂，且${k_1}{k_2}=\frac{y}{x+3}•\frac{y}{x-3}=\frac{y^2}{{{x^2}-9}}=-\frac{5}{9}$，
所以$O{T^2}={x_1}^2+{y_1}^2={x_1}^2+{k_1}^2{x_1}^2=\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}$，同理$O{S^2}=\frac{{45（{1+{k_2}^2}）}}{{5+9{k_2}^2}}$，
因此${|{OS}|^2}+{|{OT}|^2}=\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}+\frac{{45（{1+{k_2}^2}）}}{{5+9{k_2}^2}}=\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}+\frac{{45（{1+\frac{25}{{81{k_1}^2}}}）}}{{5+\frac{25}{{9{k_1}^2}}}}$=$\frac{{45（{1+{k_1}^2}）}}{{5+9{k_1}^2}}+\frac{{81{k_1}^2+25}}{{5+9{k_1}^2}}=\frac{{126{k_1}^2+70}}{{5+9{k_1}^2}}=14$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．