Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=r＞0，數(shù)列{a_na_n+1}為公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}中，b_n=a_2n-1+a_2n
（1）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的公比q的取值范圍；
（2）求{b_n}的通項(xiàng)
（3）若r=2^19.2-1，q=$\frac{1}{2}$，求數(shù)列{$\frac{lo{g}_{2}_{n+1}}{lo{g}_{2}_{n}}$}的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，知rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q² 即：q²-q-1＜0，可得q的取值范圍；
（2）由數(shù)列{a_na_n+1}是公比為q的等比數(shù)列，知$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，由此能求出b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）由b_n=（1+r）q^n-1，知$\frac{lo{g}_{2}_{n+1}}{lo{g}_{2}_{n}}$=1+$\frac{1}{n-20.2}$，由此能求出數(shù)列{$\frac{lo{g}_{2}_{n+1}}{lo{g}_{2}_{n}}$}的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₂=r，
且數(shù)列{a_na_n+1}是公比為q的等比數(shù)列，
∴q≠0，r≠0，且a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，
∵a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，
∴rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q²
即：q²-q-1＜0，
∵q＞0，
∴0＜q＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
（2）∵數(shù)列{a_na_n+1}是公比為q的等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，
∵a₁=1，
∴當(dāng)n=2k-1時(shí)，a_n=q^k-1
∵a₂=r，
∴當(dāng)n=2k時(shí)，a_n=rq^k-1．
∵b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N），
∴b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）∵b_n=（1+r）q^n-1，
∴$\frac{lo{g}_{2}_{n+1}}{lo{g}_{2}_{n}}$=1+$\frac{1}{n-20.2}$，
記C_n=$\frac{lo{g}_{2}_{n+1}}{lo{g}_{2}_{n}}$，
當(dāng)n-20.2＞0，即n＞21，n∈N⁺時(shí)，C_n隨n的增大而減小，
∴1＜C_n≤C₂₁=$\frac{9}{4}$．
當(dāng)n-20.2＜0，即n≤20，n∈N⁺時(shí)，C_n隨n的增大而減小，
∴1＞C_n≥C₂₀=-4．
綜上所述，對(duì)任意的自然數(shù)n，有C₂₀≤C_n≤C₂₁，
∴數(shù)列{$\frac{lo{g}_{2}_{n+1}}{lo{g}_{2}_{n}}$}中，n=21時(shí)，取最大值，n=20時(shí)，取最小值-4

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．