Question

設(shè)橢圓C：的右、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，過A與AF₂垂直的直線交x軸負(fù)半軸于Q點(diǎn)，且2+=0．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過A、Q、F₂三點(diǎn)的圓恰好與直線x-y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)F₂的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P（4，0），求△PMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓C的離心率，只需得到關(guān)于a，c的齊次式，由，2+=0，以及b²=a²-c²，就可得到a，c的齊次式，求出橢圓C的離心率．
（2）帶著參數(shù)求出過A、Q、F₂三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)以及半徑，再根據(jù)圓恰好與直線x-y-3=0相切，求出參數(shù)的值，
就可得到橢圓C的方程．
（3）設(shè)直線MN的方程，欲（2）中求出的橢圓方程聯(lián)立，求出y₁+y₂，y₁y₂的值，就可得到|y₁-y₂|，而△PMN的面積可用=|PF₂|•|y₁-y₂|表示，再利用均值不等式求出最大值．
解答：解：（1）設(shè)Q（x，0）．∵F₂（c，0），A（0，b），∴=（-c，b），=（x，-b）
∵，∴-cx-b²=0，故 x=-，
又∵2+=0，∴F₁為F₂Q的中點(diǎn)，故-2c=-+c，即，b²=3c²=a²-c²，∴e==
（2）∵e==，∴a=2c，b=c，則F2（c，0），Q（-3c，0），A（0，c）
∴△AQF2的外接圓圓心（-c，0），半徑r=|F₂Q|=a=2c
∴=2c，解得c=1，∴a=2，b=
橢圓C的方程為
（3）設(shè)直線MN：x=my+1，代入，得，（3m²+4）y²+6my-9=0
設(shè)M（x₁，y₁），n（x₂，y₂），∴y₁+y₂=-，y₁y₂=-，
|y₁-y₂|==
∴S_△PMN=|PF₂|•|y₁-y₂|=，
令=λ≥，
∴S_△PMN==≤=
∴△PMN面積的最大值為，此時(shí)，m=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓離心率，方程的求法，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，注意設(shè)而不求思想的應(yīng)用．