Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₁a₂=2a₃，且a₁，a₂+2，a₃成等差數(shù)列．數(shù)列{b_n}滿足b₁log₂a₁+b₂log₂a₂+…+b_nlog₂a_n=

n(n+1)

2

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）求證：

n

2(n+2)

＜

n

k=1

（1-

bk

bk+1

）

1

bk+1

＜

5

6

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,對數(shù)的運算性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得

a12q=2a1q2 2(a1q+2)=a1+a1q2

，由此能求出

a

n

=2n+1．從而得到2b₁+3b₂+…+（n+1）b_n=

n(n+1)

2

，2b₁+3b₂+…+nb_n-1=

(n-1)n

2

，兩式相減，能求出bn=

n

n+1

．
（2）由（1-

bk

bk+1

）•

1

bk+1

＞

1

k+1

-

1

k+2

，能證明

n

k=1

(1-

bk

bk+1

)

1

bk+1

＞

n

2(n+2)

．由（

1

bk

-

1

bk+1

）

bk

bk+1

=（

1

bk

-

1

bk+1

）（

bk

bk+1

+

bk

bk+1

），能證明

n

k=1

(1-

bk

bk+1

)

1

bk+1

＜

5

6

，所以

n

2(n+2)

＜

n

k=1

（1-

bk

bk+1

）

1

bk+1

＜

5

6

（n∈N^*）．

解答： （1）解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₁a₂=2a₃，且a₁，a₂+2，a₃成等差數(shù)列，
∴

a12q=2a1q2 2(a1q+2)=a1+a1q2

，
解得

a1=4 q=2

，∴

a

n

=2n+1．
∵b₁log₂a₁+b₂log₂a₂+…+b_nlog₂a_n=

n(n+1)

2

，
∴2b₁+3b₂+…+（n+1）b_n=

n(n+1)

2

，n=1時，2b₁=1，b1=

1

2

，
當n≥2時，2b₁+3b₂+…+（n+1）b_n=

n(n+1)

2

，
2b₁+3b₂+…+nb_n-1=

(n-1)n

2

，
兩式相減，得（n+1）b_n=

n(n+1)

2

-

n(n-1)

2

=n，
∴bn=

n

n+1

．n=1時也成立，
∴bn=

n

n+1

．
（2）證明：∵（1-

bk

bk+1

）•

1

bk+1

=

1

(k+1)2

•

k+2 k+1

＞

1

(k+1)2

＞

1

(k+1)(k+2)

=

1

k+1

-

1

k+2

，
∴

n

k=1

(1-

bk

bk+1

)

1

bk+1

＞

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
∵

n

k=1

(1-

bk

bk+1

)

1

bk+1

=

n

k=1

(

1

bk

-

1

bk+1

)

bk

bk+1

，
∴（

1

bk

-

1

bk+1

）

bk

bk+1

=（

1

bk

-

1

bk+1

）（

1

bk

+

1

bk+1

）

bk

bk+1

=（

1

bk

-

1

bk+1

）（

bk

bk+1

+

bk

bk+1

），
∵

bk

bk+1

=

k(k+2)

(k+1)2

＜1，
∴

n

k=1

(1-

bk

bk+1

)

1

bk+1

＜2

n

k=1

(

1

bn

-

1

bn+1

)
=2（

2

-

n+2 n+1

）＜2(

2

-1)＜

5

6

．
∴

n

2(n+2)

＜

n

k=1

（1-

bk

bk+1

）

1

bk+1

＜

5

6

（n∈N^*）．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意放縮法的合理運用．