Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,a₁=1,S_n=a_n+1-3n-1,n∈N^*.

(1)證明數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列;

(2)對k∈N*,設f(n)=求使不等式cos(mπ)［f(2m²)-f(m)］≤0成立的正整數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由S_n=a_n+1-3n-1,則S_n-1=a_n-3(n-1)-1(n≥2),

兩式相減并整理,得a_n+1=2a_n+3(n≥2),

即=2(n≥2),又n=1時,a₂=5,=2.

∴數(shù)列{a_n+3}是首項為4,公比為2的等比數(shù)列.6分

(2)由(1)知a_n+3=4·2^n-1=2ⁿ⁺¹,

S_n=a_n+1-3n-1=2ⁿ⁺²-3n-4,

∴f(n)=

①當m為偶數(shù)時,cos(mπ)=1,f(2m²)=2m²+1,f(m)=m+1,

∴原不等式可化為(2m²+1)-(m+1)≤0,

即2m²-m≤0.故不存在符合條件的m.

②當m為奇數(shù)時,cos(mπ)=-1,f(2m²)=2m²+1,f(m)=2^m+1-1,

∴原不等式化為2m²+1-2^m+1+1≥0,

即2m²+2≥2^m+1.

當m=1或3時不等式成立;

當m≥5時,2^m+1-1=2(1+1)^m-1=2(+++…++)-1≥2m²+2m+3＞2m²+1.

∴m≥5時原不等式無解.

綜合,得當m=1或3時,不等式cos(mπ)［f(2m²)-f(m)］≤0成立.