Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）求EB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證PA∥平面EDB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面EDB內(nèi)一直線平行，連接AC，交BD于O，連接EO，根據(jù)中位線定理可知EO∥PA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，滿足定理所需條件；
（2）作EM⊥DC于M，連接MB，根據(jù)線面所成角的定義可知∠EBM是EB與底面ABCD所成的角，而在△EBM中即可求出EB與底面ABCD所成角的正切值；
（3）作EH⊥BD于D，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠EHM為二面角E-BD-C的平面角，在Rt△EMH中，求出此角的余弦值，即為二面角E-BD-C的余弦值．

解答：解：（1）證明：連接AC，交BD于O，連接EO．
則O是AC的中點．∵E是PC的中點，∴EO∥PA
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）在平面PDC中，作EM⊥DC于M，連接MB．
∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD?平面PDC，
∴平面PDC⊥底面ABCD．∵EM⊥DC，平面PDC∩平面ABCD=DC
∴EM⊥平面ABCD∴∠EBM是EB與底面ABCD所成的角．
∵PD=2，且EM是△PDC的中位線，∴EM=1
而在直角△BCD中，∠BCD=90°，
∴BM=

5

∴tan∠EBM=

EM

MB

=

1

5

=

5

5

，
即EB與底面ABCD所成角的正切值為

5

5

．
（3）在平面EDB內(nèi)，作EH⊥BD于H．
由（2）知，EM⊥平面ABCD，連接MH，則MH⊥BD．
∴∠EHM為二面角E-BD-C的平面角．
在Rt△DMH中，∠DHM=90°，∠CDB=45°，DM=1，
∴MH=

2

2

．∵EM=1，∴在Rt△EMH中，EH=

6

2

，
∴cos∠EHM=

MH

EH

=

3

3

，
即，二面角E-BD-C的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，以及直線與平面所成角和二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．