已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(
3
3
2
),橢圓C左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為E,△EF1F2為等邊三角形.定義橢圓C上的點M(x0,y0)的“伴隨點”為N(
x0
a
,
y0
b
).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若圓C1的方程為(x+2a)2+y2=a2,圓C1和x軸相交于A,B兩點,點P為圓C1上不同于A,B的任意一點,直線PA,PB交y軸于S,T兩點.當點P變化時,以ST為直徑的圓C2是否經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點?請證明你的結論;
(Ⅲ)直線l交橢圓C于H、J兩點,若點H、J的“伴隨點”分別是L、Q,且以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.橢圓C的右頂點為D,試探究△OHJ的面積與△ODE的面積的大小關系,并證明.
分析:(Ⅰ)利用橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(
3
3
2
),及橢圓幾何量的關系,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ)確定直線PA,PB的方程,可得S,T兩點的坐標.當點P變化時,確定以ST為直徑的圓C2的方程,令y=0,求得點的坐標,即可判斷否經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點;
(Ⅲ)分類討論,設直線方程,代入橢圓方程,利用韋達定理,結合以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O可得:3x1x2+4y1y2=0,從而可得△OHJ的面積,由此可得結論.
解答:解:(Ⅰ)由已知
3
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
1
2
,解得a2=4,b2=3,
∴方程為
x2
4
+
y2
3
=1
…(4分)
(Ⅱ)設P(x0,y0)(y0≠0),則(x0+4)2+y02=4.
又A(-6,0),B(-2,0),所以lPA:y=
y0
x0+6
(x+6),S(0,
6y0
x0+6
),
lPB:y=
y0
x0+2
(x+1),T(0,
2y0
x0+2
).
圓C2的方程為x2+(y-
6y0
x0+6
+
2y0
x0+2
2
)2
=(
6y0
x0+6
+
2y0
x0+2
2
)
2

化簡得x2+y2-(
6y0
x0+6
+
2y0
x0+2
)y-12=0,
令y=0,得x=±2
3

又點(-2
3
,0),在圓C1內(nèi),所以當點P變化時,以ST為直徑的圓C2經(jīng)過圓C1內(nèi)一定點(-2
3
,0)…(10分)
(Ⅲ)設H(x1,y1),J(x2,y2),則L(
x1
2
y1
3
),Q(
x2
2
y2
3
);
1)當直線l的斜率存在時,設方程為y=kx+m,代入橢圓方程可得:(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0;
有△=48(3+4k2-m2)>0,x1+x2=
-8km
3+4k2
,x1x2=
4(m2-3)
3+4k2
 ①…(12分)
由以LQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O可得:3x1x2+4y1y2=0;
整理得:(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0
將①式代入②式得:3+4k2=2m2∴△>0,
又點O到直線y=kx+m的距離d=
|m|
1+k2

∴HJ=
1+k2
|x1-x2|
=
1+k2
4
3
|m|
2m2

所以S△OHJ=
1
2
|HJ|d=
3
…(14分)
2)當直線l的斜率不存在時,設方程為x=m(-2<m<2)
聯(lián)立橢圓方程得:y2=
3(4-m2)
4
代入3x1x2+4y1y2=0得3m2-
3(4-m2)
4
=0

∴m=±
2
5
5
,y=±
2
15
5

∴S△OHJ=
1
2
|HJ|d=
3

綜上:△OHJ的面積是定值
3

又△ODE的面積也為
3
,所以二者相等…(16分)
點評:本題考查橢圓的方程,考查圓的方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查三角形面積的計算,考查學生分析解決問題的能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過點P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系,并說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長為2
3
,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長軸長是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長為2,離心率為
2
2
,設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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