Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，，原點(diǎn)到直線的距離為．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、求曲線的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．

（Ⅰ）證法一：由題設(shè)及，，不妨設(shè)點(diǎn)，其中．由于點(diǎn)在橢圓上，有，即．

解得，從而得到．

直線的方程為，整理得．

由題設(shè)，原點(diǎn)到直線的距離為，即，

將代入上式并化簡(jiǎn)得，即．

證法二：同證法一，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．

過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易知，故．

由橢圓定義得，又，

所以，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

當(dāng)時(shí)，由知，直線的斜率為，所以直線的方程為，或，其中，．

點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

將①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．將③式和④式代入得，

．

將代入上式，整理得．

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，的坐標(biāo)滿足方程組

所以，．

由知，即，

解得．

這時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)仍滿足．

綜上，點(diǎn)的軌跡方程為　．

解法二：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，由，垂足為，可知直線的方程為．

記（顯然），點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

由①式得．　　　　　　③

由②式得．　　�、�

將③式代入④式得．

整理得，

于是．　　�、�

由①式得．　　�、�

由②式得．　�、�

將⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是．　　　⑧

由知．將⑤式和⑧式代入得，

．

將代入上式，得．

所以，點(diǎn)的軌跡方程為．