Question

已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10，
（1）求n的值；
（2）求展開式中含x

3

2

的項(xiàng)；
（3）求有理項(xiàng)共有多少項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）已知(

x

-

2

x2

)n(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10，由此關(guān)系建立起方程，求出n；
（2）由（1），n=8，利用展開式中項(xiàng)的公式T_r+1=C_n^r（

x

）^n-r（-

2

x2

）^r=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令x的指數(shù)為

3

2

解出r，即得項(xiàng)；
（3）對展開式中的指數(shù)進(jìn)行研究，得出可使指數(shù)為整數(shù)的r的值．

解答：解：（1）由題意得：

24 C 4 n

22 C 2 n

=10，∴n²-5n-24=0，解得n=8．（4分）
（2）T_r+1=(-2)r

C

r 8

x

8-5r

2

，令

8-5r

2

=

3

2

，得r=1，
∴T₂=-16x

3

2

..（3分）
（3）令4-

5r

2

∈Z(r=0，1，，8)則r=0或r=2或r=4或r=6或r=8
所以有理項(xiàng)共5項(xiàng)．（10分）．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)展開式，且能由題意將題設(shè)條件中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的方程，本題考查轉(zhuǎn)化化歸的能力及運(yùn)算能力．