.解:(1)由題意f(a
n)=
,即
.
∴a
n=n+1,(2分) ∴a
n+1-a
n=1,
∴數(shù)列{a
n}是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列.(4分)
(2)由題意
=(n+1)·m
n+1,
當(dāng)m=2時,b
n=(n+1)·2
n+1∴S
n=2·2
2+3·2
3+4·2
4+…+(n+1)·2
n+1、伲6分)
①式兩端同乘以2,得
2S
n=2·2
3+3·2
4+4·2
5+…+n·2
n+1+(n+1)·2
n+2 ②
②-①并整理,得
S
n=-2·2
2-2
3-2
4-2
5-…-2
n+1+(n+1)·2
n+2=-2
2-(2
2+2
3+2
4+…+2
n+1)+(n+1)·2
n+2=-2
2-+(n+1)·2
n+2=-2
2+2
2(1-2
n)+(n+1)·2
n+2=2
n+2·n.(9分)
(3)由題意
=m
n+1·lgm
n+1=(n+1)·m
n+1·lgm,
要使c
n<c
n+1對一切n∈N
*成立,
即(n+1)·m
n+1·lgm<(n+2)·m
n+2·lgm,對一切n∈N
*成立,
①當(dāng)m>1時,lgm>0,所以n+1<m(n+2)對一切n∈N
*恒成立;
(11分)
②當(dāng)0<m<1時,lgm<0,所以等價使得>m對一切n∈N
*成立,
因為=1-的最小值為,所以0<m<.
綜上,當(dāng)0<m<或m>1時,數(shù)列{c
n}中每一項恒小于它后面的項.
(14分)