Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，點D在AB上．
（Ⅰ）求證：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）若D是AB中點，求證：AC₁∥平面B₁CD；
（Ⅲ）當時，求二面角B-CD-B₁的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明線與線垂直，根據所給的直三棱柱的側棱與底面垂直和根據三條邊長得到的勾股定理，得到線面垂直，進而得到線線垂直．
（II）要證明線面平行，根據線面平行的判定定理，首先證明線與線平行，要寫清楚兩條線段的位置，得到結論．
（III）以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，構造向量，根據線段的比值，得到向量的坐標，設出法向量，求出法向量，根據向量所成的角做出二面角．
解答：證明：（Ⅰ）在△ABC中，因為AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC²+BC²=AB²，所以AC⊥BC．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥AC．
因為BC∩AC=C，
所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）證明：連接BC₁，交B₁C于E，DE．
因為直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AB中點，
所以側面BB₁C₁C為矩形，DE為△ABC₁的中位線，
所以DE∥AC₁．
因為DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以AC₁∥平面B₁CD．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BC，
所以如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．
則B（3，0，0），A（0，4，0），A₁（0，0，c），B₁（3，0，4）．
設D（a，b，0）（a＞0，b＞0），
因為點D在線段AB上，且，即．
所以a=2，，．
所以，，．
平面BCD的法向量為．
設平面B₁CD的法向量為，
由，，得，
所以，y=2，．
設二面角B-CD-B₁的大小為θ，
所以．
所以二面角B-CD-B₁的余弦值為．
點評：本題考查空間中直線與平面之間的平行和垂直關系，用空間向量求解兩個平面的夾角，本題解題的關鍵是建立坐標系，把理論的推導轉化成數字的運算．