Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)直線過(guò)的下頂點(diǎn)時(shí)，的斜率為，當(dāng)直線垂直于的長(zhǎng)軸時(shí)，的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅲ）若直線上存在點(diǎn)滿足成等比數(shù)列，且點(diǎn)在橢圓外，證明：點(diǎn)在定直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意得：，，及，解得，進(jìn)而可得橢圓的方程；

（Ⅱ）分兩種情況：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，得，不合題意；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓得方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得，由，得，組成方程組解得，進(jìn)而可得直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)，分兩種情況討論，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，由，解得，所以點(diǎn)在定直線上．

解：（Ⅰ）由題設(shè)：，，

解得：，

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，可得，不合題意；

當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

設(shè)，聯(lián)立，

消去整理得：，

有①，②，

由，得③，

聯(lián)立①②③得，

解得：，

所以直線的方程為：．

（Ⅲ）設(shè)，

當(dāng)直線與軸重合時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，所以同號(hào)，

由，

得，解得：，

當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，

由（Ⅱ）知，，

因?yàn)?/span>，，，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外，所以同號(hào)，

由，

得，

整理得：，

即，

解得：，

代入直線方程，得：，

所以點(diǎn)在定直線上．