Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|．
（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；
（2）依圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間，并對函數(shù)f（x）在（-1，0）上的單調性加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的定義域是R，再根據(jù)f（-x）=f（x），可得函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．    
（Ⅱ）畫出函數(shù)f（x）=

x2-2x ，x≥0 x2+2x ，x＜0

圖象，數(shù)形結合可得函數(shù)的單調性，再利用函數(shù)的單調性的定義進行證明．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)是偶函數(shù)，定義域是R，
∵f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x），
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．    
（Ⅱ）畫出函數(shù)f（x）=

x2-2x ，x≥0 x2+2x ，x＜0

圖象，
數(shù)形結合可得函數(shù)，如圖：
單調遞增區(qū)間為（-1，0），（1，+∞），
遞減區(qū)間為（-∞，-1），（0，1）．
證明：當x∈（-1，0）時，∵f（x）=x²+2x，
設-1＜x₁＜x₂＜0，則x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0，
∵f(x1)-f(x2)=(

x

2 1

-

x

2 2

)+2(x1-x2)=（x₁-x₂）（x₁+x₂+2）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以，函數(shù)f（x）在（-1，0）上是單調遞增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷和證明，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．