Question

y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x-x²；
（1）求x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）問(wèn)是否存在這樣的正數(shù)a，b，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，g（x）=f（x），且g（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184519199035972/SYS201310241845191990359018_ST/0.png">若存在，求出所有的a，b值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x＜0，則-x＞0，由當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2x-x²，可得f（-x）的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）=-f（-x），可得答案；
（2）分0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b和1≤a＜b三種情況分別討論，a，b的取值情況，最后綜合討論結(jié)果可得答案．
解答：解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0于是f（-x）=-2x-x²，-------------------------（2分）
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（x）=-f（-x）=2x+x²，即f（x）=2x+x²（x＜0），---（4分）
（2）分下述三種情況：
①0＜a＜b≤1，那么，而當(dāng)x≥0，f（x）的最大值為1，
故此時(shí)不可能使g（x）=f（x），-------------------------（7分）
②若0＜a＜1＜b，此時(shí)若g（x）=f（x），
則g（x）的最大值為g（1）=f（1）=1，得a=1，這與0＜a＜1＜b矛盾；--------------（11分）
③若1≤a＜b，因?yàn)閤≥1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，則f（x）=2x-x²，于是有，
考慮到1≤a＜b，解得----（15分）
綜上所述-----（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，其中利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的解析式，并分析其性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．