Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，對(duì)于任意的p，q∈N^*，有a_p+q=a_p+a_q
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足：求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)C_n=3ⁿ+λb_n（n∈N^*），是否存在實(shí)數(shù)λ，當(dāng)n∈N^*時(shí)，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列
∴a_n=2n（4分）
（2）∵①
∴②
①-②得：b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
當(dāng)n=1時(shí)，∴b₁=6滿足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）（9分）
（3）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假設(shè)存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
當(dāng)n為正偶函數(shù)時(shí)，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立
當(dāng)n=2時(shí)
∴
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴
當(dāng)n=1時(shí)
∴
綜上，存在實(shí)數(shù)λ，且（16分）
分析：（1）取p=n，q=1，則a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，所以a_n+1-a_n=2，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由，知，所以b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2），由此能夠得到b_n．
（3）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ．假設(shè)存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ．再由n的奇偶性進(jìn)行分類討論知存在實(shí)數(shù)λ，且．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．