對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使得f（x）=x成立，則稱x為f（x）的天宮一號(hào)點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=ax2+（b-7）x+18的兩個(gè)天宮一號(hào)點(diǎn)分別是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域是[t，t+1]（t＞0）時(shí)，f（x）的最大值為G（t），最小值為g（t），求H（t）=G（t）-g（t）的表示式．
【答案】分析：（1）直接利用定義把條件轉(zhuǎn)化為f（-3）=-3，f（2）=2聯(lián)立即可求a，b的值及f（x）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸，確定f（x）在[t，t+1]內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，從而可求f（x）的最大值為G（t），最小值為g（t），進(jìn)而可求H（t）=G（t）-g（t）的表示式
解答：解：（1）依題意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b+18=-3，4a+2b-14+18=2，
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x2-2x+18
（2）∵f（x）對(duì)稱軸為 ＜0
∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，


∴H（t）=G（t）-g（t）=6t+5
點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體，考查函數(shù)的解析式，考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題，一般根據(jù)是開口向上的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大；開口向下的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)定區(qū)間”．給出下列4個(gè)函數(shù)：
①f（x）=（x-1）2；②f（x）=|2x-1|；③f(x)=cos
π2
x；④f（x）=ex．其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
（填出所有滿足條件的函數(shù)序號(hào)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若在其定義域內(nèi)存在兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b（a＜b），使當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)f（x）為“科比函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=k+
x+2
是“科比函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．如果函數(shù)
f（x）=ax2+bx+1（a＞0）有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)x1，x2．
（1）若x1＜1＜x2，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=m對(duì)稱，求證：
12
＜m＜1；
（2）若|x1|＜2且|x1-x2|=2，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x0）=x0，則稱x0為f（x）的：“不動(dòng)點(diǎn)”；若f[f（x0）]=x0，則稱x0為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且A=∅，求證：B=∅；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根據(jù)（1）（2）中的結(jié)論判斷A=B恒成立？若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)舉以反例．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，則稱x0為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．若函數(shù)f（x）=
x2+a
bx-c
（b，c∈N*）有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0和2，且f（-2）＜-
1
2
．
（1）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）已知各項(xiàng)不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f（
1
an
）=1，其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求證：(1-
1
an
)an+1＜
1
e
＜(1-
1
an
)an
（3）在（2）的前題條件下，設(shè)bn=-
1
an
，Tn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T2011-1＜ln2011＜T2010．

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