Question

已知偶函數(shù)f（x）=x²+bx+c（常數(shù)b、c∈R）的一個零點為1，直線l：y=kx+m（k＞m∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象相比．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求

m

k

的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，可得b=0，根據(jù)函數(shù)f（x）=x²+bx+c（常數(shù)b、c∈R）的一個零點為1，可得c=-1，從而可求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m代入y=x²-1，利用直線l：y=kx+m（k＞m∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，可判別式為0，從而m=-

k2+4

4

，進而可得

m

k

=-

1

4

(k+

4

k

)，利用基本不等式可求

m

k

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
∴x²-bx+c=x²+bx+c
∴b=0
∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c（常數(shù)b、c∈R）的一個零點為1，
∴f（1）=0
∴c=-1
∴函數(shù)y=f（x）的解析式為f（x）=x²-1；
（Ⅱ）直線l：y=kx+m代入y=x²-1，∴x²-kx-m-1=0
∵直線l：y=kx+m（k＞m∈R）與函數(shù)y=f（x）的圖象相切
∴△=k²-4（-m-1）=k²+4m+4=0
∴m=-

k2+4

4

∴

m

k

=-

1

4

(k+

4

k

)
∵k＞0，∴k+

4

k

≥ 4
∴

m

k

=-

1

4

(k+

4

k

)≤-1
∴

m

k

的取值范圍是（-∞，-1]

點評：本題重點考查函數(shù)的解析式，考查直線與函數(shù)圖象的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，綜合性強．