Question

試證:對于任意給定的向量a、b都有||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

Answer 1

思路分析:由向量加法的三角形法則,本例可借助三角形邊角關(guān)系來證明,但當a、b中有一個為0或a、b共線時,三角形出現(xiàn)蛻化情況,因此,證明時應(yīng)全面考慮到各種情況.?

證明：(1)若a、b中有一個為0,則結(jié)論顯然成立.?

(2)若a、b都不為0,作=a, =b,則=a+b.??①當a、b不共線時(如圖),由三角形一邊小于其他兩邊之和、大于其他兩邊之差,可得?

|||-|||＜||＜||?+||,即||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|.?

②當a、b共線時,若a、b同向,則||=||+||,即|a+b|=|a|+|b|;?

若a、b反向,則|||-|||=||,即||a|-|b||=|a+b|.?

綜上,原不等式成立.